Sujet type corrigé n° 1 : épreuve anticipée de maths 2027, spécialité

Voie générale, spécialité maths. Durée : 2 heures. Calculatrice interdite. Le sujet est noté sur 20 points. Sujet original rédigé par BacWise au format de la session 2027 (note de service du 11 septembre 2026).

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Partie 1 : automatismes (6 points)

12 questions à réponses courtes, 0,5 point chacune. Écris uniquement le résultat, sans justification.

Calculer $15\,\%$ de $240$ .
Combien valent les $\dfrac{3}{5}$ de $45$ ?
Calculer $5^0 + 5^1$ .
Calculer $3x - 7$ pour $x = -2$ .
Résoudre $3x - 7 = 2$ . Donner $x$ .
Soit $f(x) = 2x - 3$ . Donner l'antécédent de $5$ par $f$ .
Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation $y = -4x + 1$ ?
$P(A) = 0{,}3$ . Donner $P(\overline{A})$ .
Calculer la moyenne de la série : $8$ ; $12$ ; $10$ ; $14$ .
$3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Combien coûtent $5$ kg (en €) ?
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont des filles. Quel est le pourcentage de filles ?
Calculer les trois quarts de $60$ .

Partie 2 : exercices (14 points)

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynôme (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,5]$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Calculer $f'(2)$ . (1 point)
Vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ , puis donner la plus petite valeur de $x$ pour laquelle $f'(x) = 0$ . (1 point)
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,5]$ . Quelle est la valeur du maximum local de $f$ ? (1,5 points)
La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = mx + p$ . Donner $m$ . (1,5 points)

Exercice 2 : Jeu de fléchettes (5 points)

À une fête, un joueur lance une fléchette. Il gagne $10$ points avec la probabilité $0{,}1$ , $5$ points avec la probabilité $0{,}3$ , et $0$ point sinon. On note $X$ le nombre de points gagnés.

Calculer $P(X = 0)$ . (1 point)
Calculer l'espérance $E(X)$ . (1,5 points)
Calculer la variance $V(X)$ . (1,5 points)
Chaque point gagné rapporte $1$ €. Quelle mise (en euros) faudrait-il demander pour que le jeu soit équitable ? (1 point)

Exercice 3 : Produit scalaire dans un repère (4 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;\,2)$ , $B(5\,;\,4)$ et $C(3\,;\,8)$ .

Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ . (1 point)
Calculer $AB^2$ . (1 point)
En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , sous la forme $\dfrac{k\pi}{4}$ . Donner $k$ . (1 point)
La hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$ a pour équation $-2x + 4y + c = 0$ . Donner $c$ . (1 point)

Corrigé détaillé

Corrigé de la partie 1 (automatismes)

36 — $10\,\%$ de $240$ : $24$ . $5\,\%$ : $12$ . $24 + 12 = 36$ .
27 — $45 \div 5 = 9$ . $9 \times 3 = 27$ .
6 — $5^0 = 1$ et $5^1 = 5$ . $1 + 5 = 6$ .
$-13$ — $3 \times (-2) - 7 = -13$ .
$x = 3$ — $3x - 7 = 2 \iff 3x = 9 \iff x = 3$ .
4 — $2x - 3 = 5 \iff 2x = 8 \iff x = 4$ .
$-4$ — $m = -4$ , $p = 1$ .
$0{,}7$ — $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ .
11 — $8 + 12 + 10 + 14 = 44$ . $44 \div 4 = 11$ .
$12{,}50$ € — Prix au kilo : $7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ €. $5 \times 2{,}50 = 12{,}50$ €.
$60\,\%$ — $\dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\,\%$ .
$45$ — Un quart de $60$ vaut $15$ , donc trois quarts valent $45$ .

Corrigé de l'exercice 1 : Étude d'une fonction polynôme

-3
1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ .
2. $f'(2) = 3 \times 4 - 12 \times 2 + 9 = -3$ .
À retenir : $f'(2) < 0$ : $f$ est décroissante au voisinage de $2$ .
1
1. $3(x - 1)(x - 3) = 3x^2 - 12x + 9 = f'(x)$ .
2. $f'(x) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 3$ ; la plus petite valeur est $1$ .
À retenir : Une forme factorisée de $f'$ donne directement son signe.
5
1. Signe de $f'$ (trinôme, $a = 3 > 0$ ) : positif sur $[0\,;\,1]$ , négatif sur $[1\,;\,3]$ , positif sur $[3\,;\,5]$ .
2. $f$ croît, décroît puis croît. $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ et $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$ .
3. Maximum local : $f(1) = 5$ (sur tout l'intervalle, le maximum est $f(5) = 21$ ).
À retenir : Maximum local ≠ maximum sur l'intervalle : compare aussi aux bornes.
9
1. $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ avec $f'(0) = 9$ et $f(0) = 1$ .
2. Tangente : $y = 9x + 1$ , donc $m = 9$ .
À retenir : Vérifie que le point $(0\,;\,1)$ est bien sur la tangente.

Corrigé de l'exercice 2 : Jeu de fléchettes

0,6
1. $P(X = 0) = 1 - (0{,}1 + 0{,}3) = 0{,}6$ .
À retenir : Écris la loi de $X$ dans un tableau avant de calculer.
2,5
1. $E(X) = 10 \times 0{,}1 + 5 \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}6 = 2{,}5$ .
À retenir : En moyenne, sur un grand nombre de lancers, un joueur gagne $2{,}5$ points.
11,25
1. $E(X^2) = 100 \times 0{,}1 + 25 \times 0{,}3 + 0 = 17{,}5$ .
2. $V(X) = 17{,}5 - 2{,}5^2 = 17{,}5 - 6{,}25 = 11{,}25$ .
À retenir : L'écart type est $\sqrt{V(X)}$ , ici environ $3{,}35$ points.
2,5
1. Le gain algébrique moyen est $E(X) - m$ ; il est nul pour $m = 2{,}5$ .
À retenir : Au-dessus de $2{,}50$ €, le jeu est favorable à l'organisateur.

Corrigé de l'exercice 3 : Produit scalaire dans un repère

20
1. $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$ , $\overrightarrow{AC}(2\,;\,6)$ .
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8 + 12 = 20$ .
À retenir : Coordonnées d'un vecteur : arrivée moins départ.
20
1. $AB^2 = (5 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = 16 + 4 = 20$ .
À retenir : De même $AC^2 = 4 + 36 = 40$ .
1
1. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ .
2. $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{20}{\sqrt{800}} = \dfrac{20}{20\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
3. $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{4}$ : $k = 1$ .
À retenir : $\sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2}$ .
-6
1. $\overrightarrow{BC}(-2\,;\,4)$ est normal à la hauteur issue de $A$ .
2. $A$ est sur la droite : $-2 + 8 + c = 0$ , donc $c = -6$ .
À retenir : Hauteur issue de $A$ : perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ .

Faire le test express (5 min)