En Première spécialité, la trigonométrie repose sur le cercle trigonométrique. Tout se lit sur un dessin : si tu places correctement le point, tu trouves le cosinus, le sinus et leur signe sans rien apprendre de plus que quelques valeurs.

Le radian et la mesure principale

Un tour complet mesure $2\pi$ radians, donc $180° = \pi$ rad. Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ .

Un même point du cercle correspond à une infinité de mesures, qui diffèrent d'un multiple de $2\pi$ . La mesure principale est celle qui appartient à $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ .

Exemple. Mesure principale de $\dfrac{19\pi}{4}$ .

$2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$ : $\dfrac{19\pi}{4} - 2 \times \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ .
$\dfrac{3\pi}{4} \in \left]-\pi\,;\,\pi\right]$ : c'est la mesure principale.

Cosinus et sinus sur le cercle

Au réel $x$ on associe le point $M$ du cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ , le sinus son ordonnée. Donc $-1 \le \cos x \le 1$ , $-1 \le \sin x \le 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .

$x = 0$ : $\cos = 1$ , $\sin = 0$ .
$x = \dfrac{\pi}{6}$ : $\cos = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin = \dfrac{1}{2}$ .
$x = \dfrac{\pi}{4}$ : $\cos = \sin = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$x = \dfrac{\pi}{3}$ : $\cos = \dfrac{1}{2}$ , $\sin = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
$x = \dfrac{\pi}{2}$ : $\cos = 0$ , $\sin = 1$ ; $x = \pi$ : $\cos = -1$ , $\sin = 0$ .

Astuce. Moyen mnémotechnique : les sinus de $0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$ valent $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ ; les cosinus, la même liste à l'envers.

Les angles associés

$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ .
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ .
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ .

Exemple. Calculer $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ .

$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ .
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Utiliser cos² + sin² = 1

Exemple. On sait que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ et $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ . Calculer $\cos x$ .

$\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ .
Dans le deuxième quadrant, $\cos x \le 0$ : $\cos x = -\dfrac{4}{5}$ .

Les fonctions cosinus et sinus

Elles sont $2\pi$ -périodiques : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ .
Cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).

Les pièges à éviter

Inverser cosinus et sinus : le cosinus se lit sur l'axe horizontal.
Oublier le signe : un angle du deuxième quadrant a un cosinus négatif.
Donner une « mesure principale » hors de $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ , comme $\dfrac{7\pi}{4}$ au lieu de $-\dfrac{\pi}{4}$ .

Trigonométrie : cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables