La dérivation sert à étudier les variations d'une fonction, à trouver un maximum ou un minimum et à écrire l'équation d'une tangente. C'est l'un des chapitres les plus rentables de Première.

Les dérivées à connaître

$(k)' = 0$ pour une constante $k$ .
$(x^n)' = nx^{n-1}$ ; en particulier $(x)' = 1$ et $(x^2)' = 2x$ .
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ et $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$(u + v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$ .

Exemple. Dériver $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ .

$f'(x) = 3x^2 - 6x$ .

L'équation de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Exemple. Tangente à $f(x) = x^2$ en $a = 1$ .

$f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ .
$y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$ .

Étudier les variations

Calculer $f'(x)$ .
Étudier son signe (factoriser si besoin).
$f' > 0$ : $f$ croissante ; $f' < 0$ : $f$ décroissante.
Un extremum est atteint là où $f'$ s'annule en changeant de signe.

Exemple. Variations de $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $[0\,;\,6]$ .

$f'(x) = -2x + 6$ , positive pour $x \le 3$ , négative ensuite.
$f$ croît puis décroît : maximum $f(3) = 4$ .

Les pièges à éviter

Garder la constante en dérivant : $(x^2 + 5)' = 2x$ .
Confondre la valeur du maximum $f(3)$ et l'endroit où il est atteint ( $x = 3$ ).
Oublier le $+ f(a)$ dans l'équation de la tangente.

La dérivation : formules, tangente et variations

Les dérivées à connaître

L'équation de la tangente

Étudier les variations

Les pièges à éviter

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