Le produit scalaire : les 4 formules et quand les utiliser

Les quatre formules

• Avec l'angle : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
• Avec les coordonnées, dans un repère orthonormé : $\vec{u}(x\,;\,y)$, $\vec{v}(x'\,;\,y')$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Avec le projeté orthogonal : si $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ ($AB \times AH$ si même sens, $-AB \times AH$ sinon).
• Avec les normes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

Astuce. Un repère est donné ? Coordonnées. Des longueurs et un angle ? Cosinus. Une figure avec un angle droit ? Projeté orthogonal.

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. C'est l'outil le plus rapide pour prouver qu'un angle est droit.

Règles de calcul

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ et $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
• $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.

Le théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle $ABC$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$. C'est le théorème de Pythagore généralisé : si l'angle est droit, le cosinus est nul.