Les suites reviennent dans presque tous les sujets, souvent dans un contexte concret : abonnement, placement, population. Le plus important est de reconnaître le bon type de suite.

Suite arithmétique : on ajoute

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ . Alors $u_n = u_0 + nr$ (ou $u_n = u_1 + (n-1)r$ si la suite commence à $u_1$ ).

Exemple. Un abonnement coûte $20$ € le premier mois, puis $2$ € de plus chaque mois. Prix du 4e mois ?

$b_n = 20 + 2(n - 1)$ , donc $b_4 = 26$ €.

Suite géométrique : on multiplie

$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \times u_n$ . Alors $u_n = u_0 \times q^n$ .

Exemple. $1\,000$ € placés à $3\,\%$ par an (intérêts composés).

Chaque année on multiplie par $1{,}03$ : $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$ .

Astuce. Intérêts simples → suite arithmétique ; intérêts composés → suite géométrique.

Les sommes

Arithmétique : somme $=$ nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .
Géométrique : $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$ .

Exemple. Calculer $1 + 2 + 4 + \dots + 2^9$ .

$10$ termes : $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 1\,023$ .

Suites arithmético-géométriques

Une suite du type $u_{n+1} = a u_n + b$ se ramène à une suite géométrique en posant $v_n = u_n - \ell$ , où $\ell$ vérifie $\ell = a\ell + b$ . L'énoncé donne en général le changement de suite.

Les pièges à éviter

Écrire $u_0 \times q \times n$ au lieu de $u_0 \times q^n$ .
Mal compter les termes d'une somme (de $2^0$ à $2^9$ , il y en a $10$ ).
Prendre le taux $0{,}05$ comme raison au lieu du coefficient $1{,}05$ .

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique : on ajoute

Suite géométrique : on multiplie

Les sommes

Suites arithmético-géométriques

Les pièges à éviter

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