Le second degré est un classique des exercices de l'épreuve anticipée, seul ou dans une étude de fonction. Voici la méthode complète.

Le discriminant

Pour $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ , on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ .

$\Delta > 0$ : deux racines, dont $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
la seconde racine est $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .
$\Delta < 0$ : aucune racine réelle.

Exemple. Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

$\Delta = 25 - 24 = 1$ .
$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ .

La forme factorisée

Si le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$ , alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Quand l'énoncé donne cette forme, les racines se lisent directement.

Exemple. Racines de $-2(x - 2)(x - 6)$ ?

Le produit est nul pour $x = 2$ ou $x = 6$ .

Le signe d'un trinôme

Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines, et du signe opposé entre ses racines.

Exemple. Pour quels $x$ a-t-on $-2x^2 + 16x - 24 \ge 0$ ?

$-2x^2 + 16x - 24 = -2(x - 2)(x - 6)$ .
$a = -2 < 0$ : le trinôme est positif entre les racines, donc sur $[2\,;\,6]$ .

Astuce. Vérifie avec une valeur : pour $x = 4$ , $-32 + 64 - 24 = 8 > 0$ .

Le sommet de la parabole

Le maximum (si $a < 0$ ) ou le minimum (si $a > 0$ ) est atteint en $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Les pièges à éviter

Oublier que $b^2$ est positif même si $b < 0$ : $(-3)^2 = 9$ .
Inverser les signes des racines dans la forme factorisée.
Se tromper de sens pour le signe quand $a < 0$ .

Le second degré : discriminant, racines et signe d'un trinôme

Le discriminant

La forme factorisée

Le signe d'un trinôme

Le sommet de la parabole

Les pièges à éviter

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