La fonction exponentielle est au programme de la spécialité maths de Première. Elle se manie avec quatre règles de calcul et une propriété clé : elle est égale à sa propre dérivée. Voici tout ce qu'il faut savoir faire, sans calculatrice.

Définition et valeurs à connaître

La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On note $f(x) = e^x$ , avec $e = e^1 \approx 2{,}718$ .

$e^0 = 1$ et $e^1 = e$ .
Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ : l'exponentielle ne s'annule jamais.
Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Les règles de calcul

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ .
$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ et $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ .
$(e^a)^n = e^{na}$ pour tout entier $n$ .

Exemple. Simplifier $A = \dfrac{e^{5} \times e^{-2}}{e^{3}}$ .

$e^{5} \times e^{-2} = e^{3}$ .
$A = \dfrac{e^3}{e^3} = 1$ .

Astuce. Ce sont les mêmes règles que pour les puissances : l'exposant d'un produit s'additionne.

Dériver avec l'exponentielle

$(e^x)' = e^x$ .
$\left(e^{ax+b}\right)' = a\,e^{ax+b}$ .
Avec un produit : $(u\,e^x)' = u'e^x + u\,e^x = (u' + u)e^x$ .

Exemple. Variations de $f(x) = x e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$ .
$e^x > 0$ : $f'(x)$ est du signe de $x + 1$ .
$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ et croissante sur $[-1\,;\,+\infty[$ ; minimum $f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac{1}{e}$ .

Équations et inéquations

L'exponentielle étant strictement croissante : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$ .

Exemple. Résoudre $e^{2x - 1} \ge e^{x + 3}$ .

$2x - 1 \ge x + 3 \iff x \ge 4$ .
Solutions : $[4\,;\,+\infty[$ .

Exemple. Résoudre $e^{x^2} = e^{9}$ .

$x^2 = 9 \iff x = 3$ ou $x = -3$ .

Exponentielle et suites géométriques

Pour un réel $a$ , la suite $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$ : $u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^a \times u_n$ . C'est pour cela que l'exponentielle modélise les croissances et décroissances « à taux constant ».

Les pièges à éviter

Écrire $e^a + e^b = e^{a+b}$ : c'est le produit qui donne la somme des exposants, pas la somme.
Oublier le facteur $a$ en dérivant $e^{ax+b}$ .
Chercher à résoudre $e^x = 0$ ou $e^x = -2$ : il n'y a aucune solution, l'exponentielle est strictement positive.

La fonction exponentielle : propriétés, dérivée et équations