Exercice type corrigé : un exercice de suites comme à l'épreuve anticipée

Mis à jour le 1 octobre 2026

La partie 2 de l'épreuve anticipée (14 points) compte 2 ou 3 exercices. Voici un exercice original dans ce format, avec une correction rédigée comme on l'attend le jour J : la rédaction compte pour 2 points sur 20. Cherche chaque question avant de lire la correction.

L'énoncé

Une plateforme de musique compte 2 0002\,000 abonnés au 1er janvier 2027. Chaque mois, 10 %10\,\% des abonnés résilient et 300300 nouveaux abonnés s'inscrivent. On note unu_n le nombre d'abonnés nn mois après le 1er janvier 2027, donc u0=2 000u_0 = 2\,000.

  • 1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  • 2. Justifier que, pour tout entier nn, un+1=0,9 un+300u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 300.
  • 3. La suite (un)(u_n) est-elle arithmétique ? géométrique ?
  • 4. On pose vn=un−3 000v_n = u_n - 3\,000. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
  • 5. En déduire que un=3 000−1 000×0,9nu_n = 3\,000 - 1\,000 \times 0{,}9^n.
  • 6. Le nombre d'abonnés peut-il dépasser 3 0003\,000 ? Justifier.

Correction des questions 1 à 3

Exemple. 1. Calcul de u1u_1 et u2u_2.

  1. Il reste 90 %90\,\% des abonnés, auxquels s'ajoutent 300300 nouveaux : u1=0,9×2 000+300=2 100u_1 = 0{,}9 \times 2\,000 + 300 = 2\,100.
  2. u2=0,9×2 100+300=1 890+300=2 190u_2 = 0{,}9 \times 2\,100 + 300 = 1\,890 + 300 = 2\,190.

Exemple. 2. Relation de récurrence.

  1. Perdre 10 %10\,\% revient à multiplier par 1−0,1=0,91 - 0{,}1 = 0{,}9 ; on ajoute ensuite les 300300 inscrits.
  2. Donc, pour tout entier nn, un+1=0,9 un+300u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 300.

Exemple. 3. Nature de la suite.

  1. u1−u0=100u_1 - u_0 = 100 et u2−u1=90u_2 - u_1 = 90 : les différences ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique.
  2. u1u0=1,05\dfrac{u_1}{u_0} = 1{,}05 et u2u1≈1,043\dfrac{u_2}{u_1} \approx 1{,}043 : les quotients ne sont pas constants, elle n'est pas géométrique.

Astuce. Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou géométrique), un contre-exemple chiffré suffit. Pour montrer qu'elle l'est, il faut un calcul valable pour tout nn.

Correction des questions 4 à 6

Exemple. 4. La suite (vn)(v_n).

  1. vn+1=un+1−3 000=0,9 un+300−3 000=0,9 un−2 700v_{n+1} = u_{n+1} - 3\,000 = 0{,}9\,u_n + 300 - 3\,000 = 0{,}9\,u_n - 2\,700.
  2. Or 0,9 vn=0,9(un−3 000)=0,9 un−2 7000{,}9\,v_n = 0{,}9(u_n - 3\,000) = 0{,}9\,u_n - 2\,700. Donc vn+1=0,9 vnv_{n+1} = 0{,}9\,v_n.
  3. (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,90{,}9 et de premier terme v0=2 000−3 000=−1 000v_0 = 2\,000 - 3\,000 = -1\,000.

Exemple. 5. Expression de unu_n.

  1. (vn)(v_n) géométrique : vn=v0×0,9n=−1 000×0,9nv_n = v_0 \times 0{,}9^n = -1\,000 \times 0{,}9^n.
  2. un=vn+3 000=3 000−1 000×0,9nu_n = v_n + 3\,000 = 3\,000 - 1\,000 \times 0{,}9^n.
  3. Contrôle : u1=3 000−900=2 100u_1 = 3\,000 - 900 = 2\,100, cohérent avec la question 1.

Exemple. 6. Interprétation.

  1. Pour tout nn, 1 000×0,9n>01\,000 \times 0{,}9^n > 0, donc un<3 000u_n < 3\,000.
  2. Le nombre d'abonnés reste toujours inférieur à 3 0003\,000 ; comme 0,9n0{,}9^n devient de plus en plus petit, il s'en rapproche au fil des mois.

Ce que le correcteur attend

  • Une phrase de conclusion à chaque question (« donc la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,90{,}9 »).
  • Les calculs intermédiaires, même simples : sans calculatrice, ils montrent ta méthode.
  • Le vocabulaire exact : raison, premier terme, pour tout entier nn.
  • Un retour au contexte pour les questions d'interprétation (des abonnés, pas seulement « un<3 000u_n < 3\,000 »).

Les pièges à éviter

  • Traduire « perdre 10 %10\,\% » par « −0,1-0{,}1 » au lieu de « ×0,9\times 0{,}9 ».
  • Affirmer qu'une suite est géométrique à partir de deux quotients seulement.
  • Oublier le premier terme en donnant la nature d'une suite.

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