Les probabilités conditionnelles étaient au cœur du sujet de spécialité de juin 2026. Avec un arbre bien construit, l'exercice devient mécanique.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . Elle se lit sur la branche qui part de $A$ dans l'arbre.

Utiliser un arbre pondéré

On multiplie les probabilités le long d'un chemin : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
La somme des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
Probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .

Exemple. $60\,\%$ des clients louent un vélo électrique ; $30\,\%$ d'entre eux prennent une assurance, contre $10\,\%$ des autres. Probabilité qu'un client prenne l'assurance ?

$P(A) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}18 + 0{,}04 = 0{,}22$ .

Inverser la condition

Pour trouver $P_B(A)$ quand l'arbre donne $P_A(B)$ , on utilise la définition : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Exemple. Même situation : un client est assuré. Probabilité qu'il ait un vélo électrique ?

$\dfrac{0{,}18}{0{,}22} = \dfrac{9}{11}$ .

Tableaux croisés

Dans un tableau croisé, « parmi les filles » signifie qu'on divise par le total de la ligne des filles ; « parmi les demi-pensionnaires », par le total de leur colonne. Ces deux proportions sont différentes.

Astuce. Avant de calculer, souligne dans l'énoncé la population de référence.

Les pièges à éviter

Confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ .
Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.
Inverser la condition : $P_A(B) \neq P_B(A)$ en général.

Probabilités conditionnelles : arbres, formules et tableaux croisés

Probabilité conditionnelle

Utiliser un arbre pondéré

Inverser la condition

Tableaux croisés

Les pièges à éviter

À lire aussi